Kus FVA– suurenenud üürisumma;

R– annuiteedi tähtaja suurus, s.o. järgmise makse summa;

i– aastane intressimäär, millega arvestatakse maksetelt liitintressi;

n- annuiteedi tähtaeg aastates,

s n;i– üüritõusu koefitsient.

Näide. Viie aasta jooksul kantakse iga aasta lõpus pangakontole summasid 500 rubla, millelt võetakse intressi 30%. Määrake intressisumma, mida pank kontoomanikule maksab.

Lahendus:

Kuna annuiteediperiood on üks aasta, siis see iga-aastane rent; intressi arvestatakse üks kord aastas; sissemaksed tehakse annuiteediperioodi lõpus, postnumerando, mis tähendab regulaarne rent; väljamakse suurus on kogu annuiteediperioodi jooksul konstantne, mis on tüüpiline konstantne annuiteedid; annuiteediliikmete arv on viis, s.o. loomulikult, järelikult piiratud rent; ja maksed on tingimusteta, nii see on ustav rentida.

Kõigi kogunenud intressidega sissemaksete summa on võrdne:

Püsiva annuiteedi akumuleeritud summa saate määrata annuiteedi kogumiskoefitsiente sisaldavate finantstabelite abil:

FVA = R s 5 ; 30 = 500 9,0431 = 4 "521,55 hõõruda.

Sissemaksete summa 5 aasta jooksul on:

P=nR= 5500 = 2"500 hõõruda.

Seetõttu on kogunenud intressi summa võrdne:

I = FVA - P= 4"521,55 - 2"500 = 2"021,55 hõõruda.

Seega on kontoomaniku sissetulek 5 aastaks 2021,55 rubla.

Finantsmatemaatika meetodite omandamiseks on oluline mitte niivõrd valemite meeldejätmine, kuivõrd arvutamise üldpõhimõtted.

Kogunenud summa kindlaksmääramiseks vaadeldava perioodi lõpus lisatakse viitlaekumise vahetulemused järjestikku järgmisele maksele.

Vaatame eelmise näite samm-sammult lahendust:

Kogunenud annuiteedi väärtuse arvutamine

*Kaastööd laekuvad perioodi lõpus.

Seega saadakse sama summa, mis annuiteedi suurendamise valemi järgi.

Kõnealust valemit kasutatakse aga ainult kord aastas intressi arvestamisel, kuid aasta jooksul võib esineda korduvaid intressiarvestusi, siis kasutatakse järgmist valemit:

Seega on kogunenud intressi summa võrdne:

I = FVA - P= 4"840,76 - 2"500,00 = 2"340,76 hõõruda.

Nagu näha, suurendas üleminek aastase intressi arvestamiselt kvartaalsele tekkepõhisele arvestusele oluliselt nii kogunenud kui ka intresside summat.

On juhtumeid, kus annuiteedimakseid tehakse mitu korda aastas võrdsetes summades (tähtaegne annuiteet) ja intressi koguneb vaid kord aastas. Seejärel määratakse suurenenud annuiteedi suurus järgmise valemiga:

Praktikas on numerandojärgne voog muutunud laiemaks, kuna raamatupidamise üldiste põhimõtete kohaselt on tavaks teha kokkuvõte ja hinnata toimingu või muu toimingu finantstulemust järgmise aruandeperioodi lõpus. Mis puutub maksete laekumisse, siis praktikas jaotuvad need enamasti aja jooksul ebaühtlaselt ja seetõttu omistatakse mugavuse huvides kõik laekumised perioodi lõpule, mis võimaldab kasutada formaliseeritud hindamisalgoritme.

Turumajanduses nimetatakse igasugust suhtlust üksikisikute, ettevõtete ja ettevõtete vahel kasumi teenimise eesmärgil tehinguks. Krediiditehingutes kujutab kasum vahendite laenamisest saadavat tulu, mis praktikas realiseerub intresside (intressimäär - i) kogunemise kaudu. Intress sõltub pakutavast summast, laenu tähtajast, tekketingimustest jne.

Kõige olulisem koht finantstehingutes on ajafaktoril (t). Investeeringute ebavõrdsuse ja ebavõrdsuse põhimõte on seotud ajafaktoriga. Rahaliste vahendite algsummaga (P) toimuvate muutuste väljaselgitamiseks on vaja välja arvutada raha laenamisest, hoiuse vormis investeerimisest, väärtpaberitesse investeerimisest jne saadava tulu suurus.

Rahasumma suurendamise protsessi seoses intresside kogunemisega (i) nimetatakse akumulatsiooniks ehk algsumma (P) kasvuks. Seega nimetatakse algväärtuse muutust kahe teguri – intressimäära ja aja – mõjul kogunenud väärtuseks (S).

Kogunenud väärtuse saab määrata liht- ja liitintressi abil. Lihtintressi kasutatakse juhul, kui kogunenud summa määratakse kindlaks konstantse baasi suhtes, see tähendab, et kogunenud intress makstakse tagasi (tasutakse) kohe pärast arvestamist (seega esialgne summa ei muutu); juhul, kui algsumma (esialgne) ajaintervalli jooksul muutub, käsitleme liitintressi.

Lihtintressi arvutamisel määratakse kogunenud summa valemiga

S = P (1 + i t), (1)

kus S on kogunenud summa (kulu), hõõruda; P – algsumma (kulu), hõõruda; i – intressimäär väljendatuna koefitsiendina; t – intresside arvestamise periood.

S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, hõõruda. (laenu tagasimakse summa);

ΔР = 11 300 - 10 000 = 1 300, hõõruda. (kogunenud intressi summa).

Kui pank väljastas laenu summas 50 000 rubla, määrake võla tagasimakse summa, millele tuleb maksta iga-aastane intressimakse. 2 aastaks, intressimääraga 16% aastas.

S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, hõõruda.

Seega toimub lihtintressi arvestamine juhul, kui kogunenud intress ei kogune põhivõla summale, vaid seda makstakse perioodiliselt, näiteks kord aastas, poole aasta jooksul, kord kvartalis, kuus jne. , mis määratakse laenulepingu tingimustega. Praktikas on ka juhtumeid, kus arveldusi tehakse lühemate perioodide jooksul, eelkõige ühepäevaselt.

Juhul, kui laenu (hoiuse vms) tähtaeg on lühem kui üks aasta, on arvutustes vaja korrigeerida määratud intressimäära sõltuvalt ajaintervallist. Näiteks saab intressiperioodi (t) esitada suhtena, kus q on laenu päevade (kuud, kvartalid, poolaastad jne) arv; k – päevade (kuud, kvartalid, poolaastad jne) arv aastas.

Seega valem (1) muutub ja sellel on järgmine vorm:

S = P (1 + i). (2)

Pank võtab tähtajalisi hoiuseid vastu 3 kuuks 11% aastas. Arvutage kliendi sissetulek 100 000 rubla suuruse investeeringuga. määratud perioodiks.

S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, hõõruda;

ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2749,9, hõõruda.

Olenevalt päevade arvust aastas on võimalikud erinevad arvutusvõimalused. Juhul, kui aja mõõtmise aluseks on aasta, mis tinglikult koosneb 360 päevast (12 kuud 30 päeva), arvestatakse tava- või kommertsintressi. Kui võtta aluseks tegelik päevade arv aastas (liigaaastal 365 või 366), räägitakse täpsetest protsentidest.

Laenu kasutamise päevade arvu määramisel kasutatakse samuti kahte lähenemist: täpne ja tavaline. Esimesel juhul arvutatakse tegelik päevade arv kahe kuupäeva vahel, teisel juhul võetakse kuu võrdseks 30 päevaga. Nii esimesel kui ka teisel juhul loetakse väljastamise ja tagasimaksmise päeva üheks päevaks. On ka juhtumeid, kus arvutuses kasutatakse arveldus- või tööpäevade arvu, mille arv on 24 päeva kuus.

Seega on neli arvutusvõimalust:

1) tavaintress koos täpse laenupäevade arvuga;

2) tavaintressid ligikaudu laenupäevade arvuga;

3) täpne intress koos ligikaudse laenupäevade arvuga;

4) täpne intress panga tööpäevade arvuga.

Arvestada tuleb sellega, et praktikas arvestatakse laenu väljastamise päeva ja laenu (hoiuse) tagasimaksmise päeva ühe päevana.

Laen väljastati 20 000 rubla ulatuses. perioodiks 01/10/06 kuni 06/15/06 14% aastas. Määrake laenu tagasimakse summa.

1. Tavaline intress koos täpse laenupäevade arvuga:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20 000 (1+0,14 · ) = 21 213,3, hõõruda.

2. Tavalised intressid ligikaudu laenupäevade arvuga:

S = 20 000 (1+0,14 · ) = 21 205,6, hõõruda.

3. Täpne intress ligikaudu laenupäevade arvuga:

S = 20 000 (1+0,14 · ) = 21 189,0, hõõruda.

4. Täpne intress panga tööpäevadega:

S = 20 000 (1+0,14 · ) = 21 516,7, hõõruda.

Andmed perioodi päevade arvu arvutamiseks on toodud lisas. 12.

Nagu eelpool öeldud, kasutatakse lisaks lihtintressi arvestamisele kompleksset tekkearvestust, mille puhul intressi koguneb perioodi jooksul mitu korda ja seda ei maksta, vaid koguneb põhivõla summale. See mehhanism on eriti tõhus keskmise ja pika tähtajaga laenude puhul.

Pärast esimest aastat (perioodi) määratakse kogunenud summa valemiga (1), kus i on aastane liitintressimäär. Kahe aasta (perioodi) pärast on kogunenud summa S2:

S 2 = S 1 (1 + see) = P (1 + see) · (1 + see) = P (1 + see) 2.

Seega liitintressi arvutamisel (pärast n-aastat (perioodi) kogunemist) määratakse kogunenud summa valemiga

S = P (1 + i t) n , (3)

kus i on liitintressimäär, väljendatuna koefitsiendina; n on liitintressi kogunemise arv kogu perioodi kohta.

Kasvukoefitsient arvutatakse sel juhul valemiga

Kn = (1 + i t) n, (4)

kus Kn on algmaksumuse suurenemise koefitsient ühikutes.

Investoril on võimalus hoiustada raha 75 000 rubla ulatuses. deposiidil kommertspangas 3 aastaks 10% aastas.

Liitintressi arvutamisel määrake kogunenud intressi suurus hoiutähtaja lõpuks.

S = 75 000 (1+ 0,1 1) 3 = 99 825, hõõruda.

ΔР = 24 825, hõõruda.

Seega on kasvukoefitsient järgmine:

Kn = (1+ 0,1 1) 3 = 1,331

Järelikult näitab akumulatsioonikoefitsient, mitu korda on esialgne summa antud tingimustel suurenenud.

Liitintressi kasutavate arvutuste osakaal finantspraktikas on üsna suur. Liitintressi reegli järgi tehtavaid arvutusi nimetatakse sageli intresside arvestamiseks ja kogunenud intresside lisamise protseduur on nende reinvesteerimine või kapitaliseerimine.

Riis. 1. Vahendite suurenemise dünaamika liht- ja liitintressi arvutamisel

Intresside reinvesteerimisest tingitud baasi pideva kasvu tõttu kiireneb algse rahasumma kasv, mis on selgelt näidatud joonisel fig. 1.

Finantspraktikas koguneb intressi tavaliselt mitu korda aastas. Kui intressi koguneb ja lisandub sagedamini (m korda aastas), siis tekib intressi kogunemine m-kordselt. Sellises olukorras ei ole finantstehingu tingimustes perioodi määra ette nähtud, mistõttu on finantslepingutes fikseeritud aastane intressimäär i, mille alusel arvutatakse perioodi () intressimäär. Sel juhul nimetatakse aastaintressi nominaalmääraks, see on aluseks igal perioodil intressi arvutamise intressimäära määramisel ja sel juhul tegelikult kohaldatav määr (() mn) on efektiivne intressimäär, mis iseloomustab toimingu täielikku mõju (tulu), võttes arvesse aastasisest kapitalisatsiooni .

Efektiivse liitintressi skeemi alusel kogunenud summa määratakse valemiga

S = P (1+ ) mn , (5)

kus i on aastane nominaalmäär, %; (1+ ) mn – efektiivse intressitõusu koefitsient; m – intresside kogunemise juhtumite arv aastas; mn – perioodi intresside kogunemise juhtumite arv.

S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, hõõruda.

Tuleb märkida, et 1-aastase perioodi puhul vastab aasta intresside kogunemise juhtude arv kogu perioodi intresside kogunemise juhtumite arvule. Kui periood on pikem kui 1 aasta, vastab sellele väärtusele n (vt valemit (3)).

S = 20 000 (1+) 4,3 = 31 279,1, hõõruda.

Liitintressi arvutamist ei kasutata ka mitte ainult intressiga suurendatud võlasumma arvutamisel, vaid ka väärtpaberite korduval arvestusel, liisinguteenuste üüri määramisel, raha väärtuse muutuste määramisel inflatsiooni mõjul. , jne.

Nagu eespool mainitud, nimetatakse intressimäära, mis mõõdab kogu perioodi jooksul saadud suhtelist tulu, efektiivseks intressimääraks. Efektiivse intressimäära arvutamist kasutatakse finantstehingute tegeliku tasuvuse määramiseks. See tootlus määratakse asjakohase efektiivse intressimääraga.

I eff = (1+ ) mn – 1 . (6)

Krediidiasutus arvestab tähtajalise hoiuse eest intressi nominaalmääraga 10% aastas. Määrake igapäevase segamise efektiivne määr.

i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, st 11%.

Investori reaalne sissetulek 1 rubla kohta. investeeritud vahendid ei ole 10 kopikat. (tingimusest), ja 11 kopikat. Seega on hoiuse efektiivne intressimäär kõrgem kui nominaalne intressimäär.

Aasta lõpus maksab pank hoiustelt 10% aastas. Kui suur on hoiuste reaaltootlus, kui intressi arvutatakse: a) kord kvartalis; b) poole aasta võrra.

a) i = (1+) 4 – 1 = 0,1038, s.o 10,38%;

b) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, s.o 10,25%.

Arvestus näitab, et intressimäärade vahe on tühine, kuid 10% aastas kvartaalne laekumine on investorile tulusam.

Efektiivse intressimäära arvutamine finantspraktikas võimaldab finantssuhete subjektidel navigeerida erinevate pankade pakkumistes ja valida sobivaima investeerimisvõimaluse.

Laenulepingud näevad mõnikord ette intressimäärade muutumist aja jooksul. Seda põhjustavad muudatused lepingutingimustes, soodustuste andmises, trahvide määramises, aga ka tehingute üldistes tingimustes, eelkõige intressimäära muutused ajas (tavaliselt ülespoole) on seotud pangandusriskide ennetamisega. võimalik riigi majandusliku olukorra muutumise, hindade tõusu, rahvusvaluuta odavnemise jms tõttu.

Aja jooksul intressimäära muutumisel kogunenud summa arvutamiseks võib kasutada kas lihtintressi või liitintressi. Intressi arvestamise skeem on fikseeritud finantslepingus ning sõltub tehingu tähtajast, summast ja tingimustest.

Las intressimäär aastate lõikes muutub. Esimesel n 1 aastal on see võrdne i 1, n 2 – i 2 jne. Lihtintressi arvutamisel algsummalt tuleb liita intressimäärad i 1, i 2, in ja kompleksintressimäärad. leidke nende toode.

Lihtintressi arvutamisel on valem

S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n), (7)

kus i n on lihtintressimäär; t n – tekkeperioodi kestus.

Esimesel aastal 10 000 rubla ulatuses. Tasutakse 10% aastas, teises - 10,5% aastas, kolmandas - 11% aastas. Määrake tagasimakse summa, kui intressi makstakse igal aastal.

S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1) = 13 150, hõõruda;

ΔР = 3150, hõõruda.

Liitintressi arvutamisel kasutatakse valemit

S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)

kus i n on liitintressimäär; t n – selle tekkeperioodi kestus.

Esimesel aastal 10 000 rubla ulatuses. Tasutakse 10% aastas, teises - 10,5% aastas, kolmandas - 11% aastas. Kui intressid on kapitaliseeritud, määrake tagasimakse summa.

S = 10 000 (1+0,10 · 1) · (1 +0,105 · 1) · (1 + 0,11 · 1) = 13 492,05, hõõruda.

Ülaltoodud näited kinnitavad tõsiasja, et lihtintressi arvutamine on seotud kogunenud summa kindlaksmääramisega konstantse baasi suhtes, st igal aastal (perioodil) arvestatakse intressi samalt algmaksumuselt. Kui võtta arvesse näidet 10, on sel juhul suurenenud kulu:

– esimesel aastal: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, hõõruda;

ΔР 1 = 1000, hõõruda;

– teisel aastal: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, hõõruda;

ΔР 2 = 1050, hõõruda;

– kolmandaks aastaks: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, hõõruda;

ΔР 3 = 1100, hõõruda.

Seega on intressi suurus 3 aastaks:

ΔР = 1000+1050+1100 = 3150, hõõruda. (vt näide 10).

Liitintressi puhul muutub esialgne summa peale igat arvestust, kuna intressi ei maksta, vaid koguneb põhisummalt, st intressilt arvestatakse intressi. Vaatame näidet 11:

– esimesel aastal: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, hõõruda;

– teisel aastal: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, hõõruda;

– kolmandal aastal: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, hõõruda.

Seega on 3 aasta intressisumma: i 3 = 3431, hõõruda. (vt näide 10).

Lepingute tingimuste väljatöötamisel või analüüsimisel tekib mõnikord vajadus lahendada pöördülesandeid - tehingu tähtaja või intressimäära määramine.

Laenu kestuse arvutamise valemeid aastates, päevades jne saab arvutada valemeid (1) ja (5) ümber paigutades.

Laenu (hoiuse) tähtaeg:

t = 365. (9)

Määrake, kui kauaks investor peaks paigutama 10 000 rubla. 12 000 rubla saamiseks kogunenud lihtintressiga hoiusele 10% aastas.

t = ( ) · 365 = 730 päeva (2 aastat).

Kliendil on võimalus investeerida panka 50 000 rubla. pooleks aastaks. Määrake intressimäär, mis tagab kliendi sissetuleku 2000 rubla ulatuses.

t = ( ) = 0,08 = 8% aastas

Samamoodi määratakse finantstehingu nõutav valmimiskuupäev ja selle pikkus või liitintressi arvutamisel nõutava intressi suurus.

Arvutuste lihtsustamiseks on lisas toodud tõusu koefitsiendi (kordaja) väärtused. 3.

Kviitungite saajad hindavad oma sissetulekut kogusummana kogu maksetähtaja kohta, võttes arvesse muidugi raha ajutist ebavõrdsust.

Kogunenud summa– kõigi annuiteediperioodi lõpuks kogunenud maksete summa koos intressidega. See võib olla üldistatud võlasumma, investeeringu kogusumma jne.

Finantsüüri tõstmise finantsoperatsiooni loogika

Kogunenud üksikmaksed on geomeetrilise progressiooni liikmed, mille esimene liige on võrdne R ja kordaja, mis on võrdne (1 + i).

Vaatleme kogunenud summa määratlust kõige lihtsama juhtumi näitel - aastane konstantne tavaline annuiteet:

Kus FVA– suurenenud üürisumma;

R– annuiteedi tähtaja suurus, s.o. järgmise makse summa;

i– aastane intressimäär, millega arvestatakse maksetelt liitintressi;

n- annuiteedi tähtaeg aastates,

sn;i– üüritõusu koefitsient.

Näide. Viie aasta jooksul kantakse iga aasta lõpus pangakontole summasid 500 rubla, millelt võetakse intressi 30%. Määrake intressisumma, mida pank kontoomanikule maksab.

Lahendus:

Kuna annuiteediperiood on üks aasta, siis see iga-aastane rent; intressi arvestatakse üks kord aastas; sissemaksed tehakse annuiteediperioodi lõpus, postnumerando, mis tähendab regulaarne rent; väljamakse suurus on kogu annuiteediperioodi jooksul konstantne, mis on tüüpiline konstantne annuiteedid; annuiteediliikmete arv on viis, s.o. loomulikult, järelikult piiratud rent; ja maksed on tingimusteta, nii see on ustav rentida.

Kõigi kogunenud intressidega sissemaksete summa on võrdne:

Konstantse aastaannuiteedi tänapäevase väärtuse arvutamine POST-NUMERANDO % arvutamisel kord aastas.

Lisaks kogunenud summale on maksevoo üldiseks tunnuseks jooksev väärtus. Maksevoo kaasaegne (praegune) väärtus(kapitaliseeritud või nüüdisväärtus) on annuiteedi alguses diskonteeritud maksete summa liitmääraga. See on finantsanalüüsi kõige olulisem omadus, sest on aluseks erinevate finants- ja krediiditoimingute tulemuslikkuse mõõtmisel, lepingutingimuste võrdlemisel jne. See tunnus näitab, milline summa peaks esialgu olema saadaval, et jagades selle võrdseteks osamakseteks, millelt kogu perioodi jooksul koguneks kehtestatud intress, oleks võimalik saada kindlaksmääratud akumuleeritud summa.

Finantstehingu loogika maksevoo hetkeväärtuse määramiseks

Sel juhul rakendatakse diskonteerimisskeemi: kõik elemendid taandatakse allahindlustegurite abil ühele ajahetkele, mis võimaldab neid summeerida.

Lihtsamal juhul on iga-aastase tavaannuiteedi puhul, mille maksed tehakse iga aasta lõpus, kui hindamise hetk langeb kokku annuiteedi algusega, rahalise annuiteedi kaasaegne väärtus:

Murd valemis - üüri vähendamise koefitsient (an;i), mille väärtused on tabelina esitatud paljude väärtuste jaoks, kuna need sõltuvad intressimäärast ( i) ja aastate arvu kohta ( n) (5. lisa).

Näide. Näidisandmete abil määrake üüri hetkeväärtus.

Lahendus:

Praegune üürisumma on:

Seega on kõik tulevikus tehtavad maksed praegu hinnatud 1"217,78 rublale.

16. Konstandi kogunenud summa arvutaminelk-tähtajaline annuiteet PÄRAST NUMERANDOT % kogunemiselmkord aastas (lk= m)

On juhtumeid, kus annuiteedimakseid tehakse mitu korda aastas võrdsetes summades (tähtaegne annuiteet) ja intressi koguneb vaid kord aastas. Seejärel määratakse suurenenud annuiteedi suurus järgmise valemiga:

Harvad pole ka juhtumid, kus üürimakseid tehakse mitu korda aastas ja intressi koguneb mitu korda aastas, kuid üürimaksete arv ei võrdu intresside tekkeperioodide arvuga, s.t. p ≠ m. Siis on valem, mille abil saate määrata suurenenud rahalise üürisumma, järgmisel kujul:

Praktikas on numerandojärgne voog muutunud laiemaks, kuna raamatupidamise üldiste põhimõtete kohaselt on tavaks teha kokkuvõte ja hinnata toimingu või muu toimingu finantstulemust järgmise aruandeperioodi lõpus. Mis puutub maksete laekumisse, siis praktikas jaotuvad need enamasti aja jooksul ebaühtlaselt ja seetõttu omistatakse mugavuse huvides kõik laekumised perioodi lõpule, mis võimaldab kasutada formaliseeritud hindamisalgoritme.

Prenumerando voog on oluline erinevate skeemide analüüsimisel vahendite kogumiseks järgnevateks investeeringuteks.

Prenumerando annuiteet erineb tavalisest annuiteedist intressiperioodide arvu poolest. Seetõttu on prenumerando annuiteedi akumuleeritud summa suurem kui tavalise annuiteedi akumuleeritud summa (1 + i) üks kord.

Iga-aastase annuiteedi prenumerando puhul, mille intress koguneb kord aastas, on valem järgmine:

Iga-aastase annuiteetprenumerando puhul, mille intressid kogunevad mitu korda aastas:

Püsiva p-tähtaja annuiteedi tänapäevase väärtuse arvutamine POST-NUMERANDO, kui arvutatakse % m korda aastas (p=m).

Vaatleme selle erinevate tüüpide üüri kaasaegse väärtuse arvutamist:

aastane annuiteet koos intressidega, mida kogutakse mitu korda aastas:

tähtajaline annuiteet koos kord aastas koguneva intressiga:

tähtajaline annuiteet koos korduva intressikogunemisega aasta jooksul tingimusel, et väljamaksete arv ei võrdu laekumiste arvuga, s.o. p ≠ m :

17. Püsiva rahalise annuiteedi järgmise makse suuruse määramine PÄRAST NUMERANDO (lk= m=1)

Järjestikused maksed konstantse tavalise aastase annuiteedi kujul määratakse peamiste parameetritega:

R– makse suurus;

n– annuiteedi tähtaeg aastates;

i– aastane intressimäär.

Finantstehingu tingimuste väljatöötamisel võib aga ette tulla olukordi, kus antud väärtus on üks kahest üldtunnusest ja mittetäielik annuiteediparameetrite komplekt. Sellistel juhtudel leitakse puuduv parameeter.

Määramisel annuiteedi liige Olenevalt algväärtusest on kaks võimalust:

A) kogunenud summa. Kui võlasumma määratakse mingil hetkel tulevikus ( FVA), seejärel järgnevate sissemaksete summa jooksul n aastat, mil neile koguneb intressi intressimääraga i, saab määrata järgmise valemiga:

Näide. Auto ostmiseks 5 aasta pärast vajate 50 tuhat rubla. Määrake iga aasta lõpus 40% intressimääraga panka makstavate iga-aastaste sissemaksete summa.

Lahendus:

Sel juhul on püsiva rahalise annuiteedi akumuleeritud väärtus teada, seega on iga-aastaste sissemaksete summa võrdne:

Seega tuleks auto ostmiseks vajaliku summa kontole kogumiseks iga aasta lõpus viieks aastaks kõrvale panna 4568 rubla.

b) rahalise annuiteedi hetkeväärtus, siis intressimäära ja annuiteedi tähtaja alusel leitakse ühekordne makse valemiga:

Näide. Summa 10 tuhat dollarit laenatakse 5 aastaks 8% aastas. Määrake iga-aastane võla tagasimakse summa.

Lahendus:

Praegune võlasumma on teada, seega:

Seega tuleb igal aastal tagastada summa 2504,56 rubla.

Saate kontrollida: võla summa koos sellelt viienda aasta lõpuks kogunenud intressidega on:

F.V.= 10 "000 (1 + 0,08) 5 = 14" 693,28 hõõruda.

2"504,56 rubla maksevoo kogunenud summa on:

Järelikult on rahalise üüri tähtaja väärtus määratud õigesti. Väikesed lahknevused on tingitud arvutuste ümardamisest.

Prenumerando annuiteedi kaasaegne väärtus arvutatakse tavalise annuiteedi tänapäevase väärtuse korrutamisel vastava kasvukordajaga.

Allahindlus

Praegune väärtus (tagastatav summa)

Intress

Riis. 6. Finantstehingute loogika

Matemaatiline diskonteerimine

Matemaatiline diskonteerimine on formaalne lahendus algse laenusumma suurendamise pöördväärtuse probleemile. Probleem on antud juhul sõnastatud järgmiselt: milline algne laenusumma tuleb välja laenata, et summa tähtaja lõpus kätte saada S tingimusel, et võlg kannab intressimääraga i ? Olles lahendanud võrrandi (1) suhteliselt P, leiame:

(12)

Sel viisil kehtestatud väärtus P on summa kaasaegne väärtus S, mille kaudu makstakse n aastat. Avaldis 1/(1 + n∙i) kutsutakse allahindluse kordaja, mis näitab ühe rahaühiku tänapäevast väärtust.

Erinevus ( S – P) ei saa käsitleda ainult kogunenud intressina P, aga ka allahindluse summana S. Tähistagem viimast tähega D. Allahindlust kui võla lõppsumma allahindlust ei pruugita määrata intressimäära kaudu, seda saab kehtestada poolte kokkuleppel ja kogu perioodi absoluutväärtusena.

Vaatame näiteid.

Näide 8.

Aasta pärast peaks kommertspanga väljastatud arve omanik saama selle eest 220 tuhat rubla. Kui suur summa kanti arve ostmise ajal panka, kui aastamäär on 12%?

Antud: Lahendus:

S= 220 tr. Kujundame probleemi graafiliselt

n= 1 aasta

i = 12%; n= 1 g.

S= 120t.r.

allahindlus

Kasutades väljendit(12) saame:
tuhat rubla.

Näide 9.

Laen tuleb tagasi maksta aastas 200 tuhat rubla. Laenuandja palus laenu tagasi maksta 270 päeva pärast väljastamist 10% aastas. Kui palju laenuandja saab?TO = 365 päeva

Antud: Lahendus:

S= 200 tuhat rubla. Kujundame probleemi graafiliselt:

n= 1 g.

n1 = 270 päeva

i = 10%

n = 365-270

S= 200t.r.

allahindlus

n 1 = 270

n 0 = 95 päeva

n = 365

Leia päevade arv, mis on jäänud laenu tagasimaksmiseni:

n 0 = n – n 1 = 365–270 = 95 (päevad)

Kasutades väljendit (12) leiame:

(tuhat rubla.)

Panga- või äriarvestus (arvearvestus)

Vekslite arvestusel kasutatakse pangaarvestust. Selle meetodi kohaselt arvutatakse laenuintress allahindlusena tähtaja lõpus tasumisele kuuluvast summast. Sel juhul kehtib see allahindlusd. (Joonis 7)

P diskonteerimine (raamatupidamine) S

Riis. 7

Diskonteerimine lihtsa diskontomäära abil

Arvutusvalem nende protsentide arvutamiseks tuletatakse järgmise arutluskäigu põhjal.

Las see olla alates 1 hõõrumisest. võetakse aastane allahindlus (allahindlus, avanss) määr d, siis saab võlgnik summa kätte (1- d) ja tähtaja möödumisel peab tagastama 1 hõõruda. See tähendab, et kui 1 hõõruda. – see on tagastatav summa S, siis on esialgne summa võrdne: P = S – d(eeldusel, et periood on üks aasta), või meie puhul P = 1 – d. Kui väärtus S, R Ja n- on siis meelevaldsed

P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d), (13)

Kus S∙n∙d– allahindluse suurus ja n– ajavahemik registreerimise hetkest kuni veksli lõpptähtajani. Väärtus (1– n∙d) kutsutakse allahindluse kordaja diskonto intressimäära kasutamisel. Arvestus diskontomäära kaudu toimub enamasti ajabaasi alusel K= 360 päeva, võetakse laenu täpne päevade arv (tavaline intress koos täpse laenupäevade arvuga).

Praktilise rakenduse mõistmiseks kaaluge allahindlusarvet. Arve nimiväärtuse kasutamine (S) , allahindlus (d) , tähtajani jäänud aeg (t) , arvestage allahindlus maha (D) – allahindlus nimiväärtusest, s.o. vahe vahel S Ja R.

Seejärel arvutatakse veksli lunastusväärtus (arve) enne tähtaega

(13a)

Vaatame näidet:

Näide 10.

100 tuhande rubla nimiväärtusega arve omanik. ja ringlusperiood 105 päeva, 15 päeva. enne makse tähtaega, võetakse see pangas arvesse 20% diskontomääraga. Määrake arve omaniku saadud summa.

Antud: Lahendus:

S= 100 tuhat rubla. Kujundame probleemi graafiliselt:

Per. edasikaebamine – 105 päeva.

n= 15 päeva

R - ? S = 100

n= 15 päeva

Kasutades väljendit(13a) saame:

(tuhat rubla.)

Mõnel juhul võib tekkida olukord, kui intresside kogunemine kombineeritakse tekkemääragai ja diskonteerimine diskontomäära aluseld . Sel juhul määratakse raamatupidamise käigus saadud summa järgmiselt:

P` = P ∙ (1 + n ∙ i) ∙ (1 – n` ∙ d) (14)

S`

KusP ( S ) – nominaalsumma;n – maksekohustuse koguperiood; n ` - ajavahemik arvestuse hetkest kuni makse tagasimaksmise kuupäevani;R` - kohustuse arvestamisel saadud summa.

Näide 11.

Võlakohustus, mis näeb ette 400 tuhande rubla tasumist. neile koguneb 12% aastas, mis tuleb tagasi maksta 90 päeva pärast. Kohustuse omanik (võlausaldaja) võttis selle pangas arvesse 15 päeva jooksul. enne tähtaega diskontomääraga 13,5%. Pärast raamatupidamist saadud summa oli:

Antud: Lahendus:

S= 400 tuhat rubla. Selles ülesandes nimiväärtus

n= 90 päeva (tagastatav summa) võetakse kui

n` = 15 päeva originaal:S = P (vt tabelit).

d = 13,5%

P(S) =400 t.r. S`

i = 12%; n= 90 päeva

d = 13,5%; n` = 15 päeva

allahindlus

P` -?

1. Esiteks määrame kohustuse kogunenud summaS ` , võttes selle nimiväärtuse esialgse summa suhtes:

(tuhat rubla.)

2. Leia saadud summa pärast raamatupidamist:

(tuhat rubla.)

3. Avaldise kasutamine (14) saame sama summa:

(tuhat rubla.)

Kogunenud summa arvutamiseks lihtsa diskontomäära kasutamise vajadus tekib veksli nimiväärtuse määramisel laenu väljastamisel. Sel juhul on arvel sisalduv võlasumma võrdne

(15)

Väärtus 1/(1- n ∙ d ) antud juhul on juurdekasvu kordaja lihtsa diskontomäära kasutamisel.

Näide 12.

Ettevõtja pöördus panga poole laenu saamiseks summas 200 tuhat rubla. 55 päevaks. Pank on nõus väljastama määratud summa, millele lisandub intressi lihtne diskontomäär 20%. Leidke tagastatav summa.

Antud: Lahendus:

R= 200 tuhat rubla. Selle probleemi puhul tehakse juurdekasv

n= 55 päeva lihtsa diskontomääraga.

R = 200 S - ?

üles ehitama

d = 20; n= 55 päeva

Kasutades väljendit(15) saame:

tuhat rubla.

Kui summa väljastati lihtintressiga( i ) , siis oleks kogunenud summa võrdne tuhat rubla. , st. diskontomäär tõuseb kiiremini ja on võlgnikule vähem kasumlik 206.111< 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.

Laenu tähtaeg määratakse diskontomäära abil, kasutades valemeid:

, (16)

, (17)

Kus n – laenu tähtaeg aastates; t – laenu tähtaeg päevades; k - ajutine baas.

Vaatame näidet:

Näide 13.

Ettevõte vajab laenu 500 tuhat rubla. Pank on nõus laenu väljastama tingimusel, et see makstakse tagasi 600 tuhande rubla ulatuses. Diskontomäär on 21% aastas. Kui pikaks ajaks annab pank ettevõttele laenu?TO = 365 päeva

Antud: Lahendus:

S= 600 tuhat rubla. Ülesande graafiline illustratsioon

R= 500 tuhat rubla.

R= 500 t.r. S= 600 tr.

d = 20%; n - ?

allahindlus

Seda laadi ülesannete lahendamisel on lihtsam kasutada väljendit(17) , siis on laenutähtaeg kohe päevades (kasutades väljendit(16) perioodi väljendatakse aasta murdosa):

(päeva)

Diskontomäär arvutatakse järgmiste valemite abil:

, (18)

. (19)

Näide 14.

500 tuhande rubla laenuleping. näeb ette võla tagasimaksmise 300 päeva pärast summas 600 tuhat rubla. Määrame panga poolt rakendatava diskontomäära.TO = 365 päeva.

Antud: Lahendus:

R= 500 tuhat rubla.

S= 600 tuhat rubla.

t= 300 päeva

R= 500 t.r. allahindlus S= 600 tr.

d = ? t= 300 päeva

Vastavalt valemile(19) saame:
võid = 20,27%

Diskontomäära võib mõnikord kaudselt määratleda tehingutes diskontomääraga finantsinstrumentidega: nimiväärtuse vähenemise üldise suhtelise osana. või diskonteeritud summa ja nimiväärtuse suhtena ; Siisd asub kui või

(20)

Kusd ` - allahindluse protsent;t – periood enne arvestust (arve tähtaeg).

Näide 15.

Poolaastalaenu väljastamisel kinnipeetava intressi suurus on 20% laenusummast. Määrame viivisemäära (diskontomäär).TO = 365

Antud: Lahendus:

d` = 20%

t= 0,5 g (180 päeva)

TO= 365 päeva

d - ?

Näide 16.

Valitsuse lühiajalised kolmekuulised võlakirjad on noteeritud kursiga 90. Arvutame diskontomäära.TO =360.

Antud: Lahendus:

P / S = 0,9 allahindlus meie puhul: 1 – 0,9 = 0,1

d - ? Seejärel:

Näide 1.2 Pensionär pani hoiule 3000 rubla. tähtajalise pensioni hoiuse eest kuueks kuuks 14% aastas. Kui palju raha tal tähtaja lõpuks koguneb ja mitu protsenti saab ta välja võtta? Mis on kasvutempo?

Lahendus. Kuna pensionär andis oma raha panka, on esialgne summa negatiivne; m = 2, kuna viitarve tehakse iga kuue kuu tagant.

FV = -(-3000) (1+0,14/2) = 3210 rubla.

I = FV- PV = 210 hõõruda.

K=1+0,14/2=1,07

Valemite (1.2)-(1.5) abil saame lahendada pöördprobleem: milline algsumma PV tuleb laenata või hoiustada panka, et tähtaja lõpus summa FV kätte saada antud aastase intressimääraga r:

Näide 1.3 180 päeva pärast lepingu allkirjastamist kohustub ettevõte maksma 310 tuhat rubla. Laen väljastati 16% aastas. Mis on esialgne laenusumma?

Lahendus. Perioodi lõpus peab ettevõte raha tagastama, seetõttu on tulevane summa negatiivne ja esialgne summa positiivne. Alates (1,5)

1.3 Liitintress

1.3.1 Liitintressi valem

Liitintressiskeem eeldab neid suurtähtede kasutamine , seega baassumma, millest alates viitlaekumised tekivad, kasvab pidevalt. Liitintressi kasutatakse kesk- ja pikaajalistes finantstehingutes, s.o. Tehingu tähtaeg on mitu intressi kogumise perioodi.

Lase panna panka tähtajalise hoiuse PV summas k aastaks aastaintressiga r. Intressiperioodide arv aastas m Seejärel valemi (1.4) kohaselt esimese perioodi lõpuks, s.o. peale esimest intressi kogunemist on sul suhtarvu järgi määratud FV summa

FV + PV (1+ )= 0.

Kui te ei ole teile tasumisele kuuluvat intressi kogunud, siis uue perioodi alguseks on esialgne summa juba PV(1+r/m) ning teise perioodi lõpuks tõusevad sellelt taas intressid ja teie hoiuse summa määratakse suhte järgi

Aasta lõpuks on teie panus võrdne

.

Summa, mille olete kogunud panka k aasta pärast aastamääraga r ja intressiga m korda aastas, on

(1.6)

Nimetatakse ekvivalentvõrrand (1.6). liitintressi valem .

Valemitest (1.4) - (1.6) saab määrata ühe suurustest:

FV - tulevane summa;

PV - praegune summa;

r - nominaalne intressimäär;

t või k - tehingu tähtaeg päevades või aastates,

väljendades neid teiste teadaolevate suuruste kaudu.

1.3.2 Tulevase summa kindlaksmääramine

Saite oma vanemate maja müügist 50 tuhat rubla. Teate, et te ei vaja seda raha 5 aasta jooksul, ja otsustasite avada pangakonto. Panga aastane intressimäär on 12%. Pank pakub järgmist tüüpi hoiuseid:

igakuise koguneva intressiga;

kvartali intresside tekkega;

tagatisraha 6 kuud;

tagatisraha 12 kuuks.

Milline investeering toob 5 aasta pärast rohkem tulu?

Lahendus. Kasutame valemit (1.6). Meie näites on PV = -50 000, r = 0,12, k = 5.

Esimesel juhul m =12 ja

90 834,83 ​​RUB

Teises - m =4 ja

90 305,56 RUB

Kolmandal juhul - m =2 ja

89 542,38 RUB

Viimases versioonis - m =1 ja

88117,08 hõõruda.

Ilmselgelt panustab pank igal juhul teie tulevasesse hoiusesse olulise panuse (üle 38 tuhande rubla).

Nagu näitest näha, Mida lühem on sama aastase intressimäära juures intressi kogumise periood, seda tulusam on hoius.